-(x-2)-(2x+1)=7．

　　说明 若在x的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解，应舍去．

　　例2 求方程｜x-｜2x+1｜｜=3的不同的解的个数．

｜x-(2x+1)｜=3，

　　即 　　　　　　　　　　　　　　　　｜1+x｜=3，

　　所以 　　　　　　　　　　　　　　　x=2或x=-4．

　

　　　　　　　　　　　　　　　｜x+(2x+1)｜=3，

即　　　　　　　　　　　　　　 ｜3x+1｜=3，

　　例3 若关于x的方程｜｜x-2｜-1｜=a有三个整数解．则a的值是多少？

　　解 若a＜0，原方程无解，所以a≥0．由绝对值的定义可知

｜x-2｜-1=±a，

　　所以 ｜x-2｜=1±a．

　　(1)若a＞1，则｜x-2｜=1-a＜0，无解．｜x-2｜=1＋a，x只能有两个解x=3+a和x=1-a．

　　(2)若0≤a≤1，则由｜x-2｜=1+a，求得

x=1-a或x=3+a；

　　由｜x-2｜=1-a，求得

x=1+a或x=3-a．

　　原方程的解为x=3+a，3-a，1+a，1-a，为使方程有三个整数解，a必为整数，所以a只能取0或1．当a=0时，原方程的解为x=3，1，只有两个解，与题设不符，所以a≠0．当a=1时，原方程的解为x=4，0，2，有三个解．

　　综上可知，a=1．

　　例4 已知方程｜x｜=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围．

　　解 设x为方程的负根，则-x=ax+1，即

所以应有a＞-1．反之，a＞-1时，原方程有负根．

　　设方程有正根x，则x=ax＋1，即

所以a＜1．反之，a＜1时，原方程有正根．

　　综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须a≥1．

　　例5 设

　　求x+y．

　　分析 从绝对值的意义知

　　解 由题设有

x+y=4-3=1．

　　例6 解方程组

　　分析与解 由①得x-y=1或x-y=-1，即

x=y+1或x=y-1．

　　解(Ⅰ)：把x=y+1代入｜x｜+2｜y｜=3得

｜y+1｜+2｜y｜=3．

组(Ⅰ)的解为

　　同理，解(Ⅱ)有

　　例7 解方程组

　　解 由①得

x+y=｜x-y｜+2．

因为｜x-y｜≥0，所以x+y＞0，所以｜x+y｜=x+y． ③

x+y=x+2，

所以y=2．将之代入①有｜x-2｜=x，所以

x-2=x， ④

　　 或 x-2=-x． ⑤

　　 ④无解，所以只有解⑤得x=1．故

　　说明 本题若按通常的解法，区分x+y≥0和x+y＜0两种情形，把方程②分成两个不同的方程x+y=x+2和-(x+y)=x+2，对方程①也做类似处理的话，将很麻烦．上面的解法充分利用了绝对值的定义和性质，从方程①中发现必有x+y＞0，因而可以立刻消去方程②中的绝对值符号，从而简化了解题过程．

　　例8 解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1．

　　 ＜x≤5，x＞5．

-(x-5)-[-(2x+3)]＜1，

-(x-5)-(2x+3)＜1，

　　(3)当x＞5时，原不等式化为

x-5-(2x+3)＜1，

　　解之得x＞-9，结合x＞5，故x＞5是原不等式的解．

　　的解．

　　例9 解不等式1≤｜3x-5｜≤2．

　　分析与解 此不等式实际上是

　　解 对｜3x-5｜≥1：

　　对｜3x-5｜≤2：

　　例 10 解不等式｜｜x+3｜-｜x-3｜｜＞3．

　　解 从里往外去绝对值符号，将数轴分为x≤-3，-3＜x≤3，x＞3三段来讨论，于是原不等式化为如下三个不等式组．

　　即　　　　　　　　　　　　　　　 x≤-3．

　　即 　　　　　　　　　　　　　　x＞3．

　　说明 本题也可以由外向内去绝对值符号，由绝对值的意义，解下面两个不等式

　　例11 当a取哪些值时，方程｜x+2｜+｜x-1｜=a有解？

　　解法1 (1)当x≤-2时，

｜x+2｜+｜x-1｜=-2x-1≥-2(-2)-1=3．

　　(2)当-2＜x＜1时，

｜x+2｜+｜x-1｜=x+2-x+1=3．

　　(3)当x≥1时，

｜x+2｜+｜x-1｜=2x+1≥2·1+1=3．

　　所以，只有当a≥3时，原方程有解．

　　解法2 按照绝对值的性质｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜，故

｜x+2｜+｜x-1｜≥｜(x+2)-(x-1)｜=3．

　　其中等号当-2≤x≤1时成立，所以当a≥3时，原方程有解．

　　1．解下列方程：

　　(1)｜x+3｜-｜x-1｜=x+1；

　　(2)｜｜1+x｜-1｜=3x；

　　(3)｜3x-2｜-｜x+1｜=x+2；

　　(4)｜3y-2｜=-｜5x-3｜．

　　2．解方程组：

　　3．解下列不等式：

　　(2)5≤｜5x-3｜≤10；

　　(3)｜x+1｜+｜4-x｜＜6；

　　(4)｜｜x-1｜-｜x+2｜｜＞1．

　　4．若a＞0，b＜0，则方程｜x-a｜+｜x-b｜=a-b的解是什么？