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含绝对值的方程及不等式
发布日期:2006-2-27 11:18:38 作者:---- 出处:---

  从数轴上看,一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离.但除零以外,任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值.即一个数与它相反数的绝对值是一样的.由于这个性质,所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点.本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法.

  一个实数a的绝对值记作|a|,指的是由a所唯一确定的非负实数:

  含绝对值的不等式的性质:

 

  (2)a-b|≤|a+b|≤|a+b|;

  (3)a-b|≤|a-b|≤|a+b|.

  由于绝对值的定义,所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算.通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况,脱去绝时值符号,转化为不含绝对值的代数式进行运算,即含有绝对值的方程与不等式的求解,常用分类讨论法.在进行分类讨论时,要注意所划分的类别之间应该不重、不漏.下面结合例题予以分析.

  1 解方程|x-2+2x+1=7

  分析 解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号,这可用“零

掉绝对值符号再求解.

  (1)x2时,原方程化为

(x-2)+(2x+1)=7

   

-(x-2)+(2x+1)=7

  

应舍去.

   

-(x-2)-(2x+1)=7

  说明 若在x的某个范围内求解方程时,若求出的未知数的值不属于此范围内,则这样的解不是方程的解,应舍去.

  2 求方程|x-2x+1||=3的不同的解的个数.

  

为只含有一个绝对值符号的方程.然后再去掉外层的绝对值符号求解.

x-(2x+1)=3

  

  即                 |1+x=3

  所以                x=2x=-4

   

 

               |x+(2x+1)=3

即               |3x+1=3

  的个数为2

  3 若关于x的方程||x-2-1=a有三个整数解.则a的值是多少?

   a0,原方程无解,所以a0.由绝对值的定义可知

x-2-1=±a

  所以 |x-2=1±a

  (1)a1,则|x-2=1-a0,无解.|x-2=1ax只能有两个解x=3+ax=1-a

  (2)0a1,则由|x-2=1+a,求得

x=1-ax=3+a

  由|x-2=1-a,求得

x=1+ax=3-a

  原方程的解为x=3+a3-a1+a1-a,为使方程有三个整数解,a必为整数,所以a只能取01.当a=0时,原方程的解为x=31,只有两个解,与题设不符,所以a0.当a=1时,原方程的解为x=402,有三个解.

  综上可知,a=1

  4 已知方程|x=ax+1有一负根,且无正根,求a的取值范围.

   x为方程的负根,则-x=ax+1,即

 

所以应有a-1.反之,a-1时,原方程有负根.

  设方程有正根x,则x=ax1,即

 

所以a1.反之,a1时,原方程有正根.

  综上可知,若使原方程有一负根且无正根,必须a1

  5

 

  x+y

  分析 从绝对值的意义知

  两个非负实数和为零时,这两个实数必须都为零.

   由题设有

 

       

把③代入①得

解之得y=-3,所以x=4.故有

x+y=4-3=1

  6 解方程组

 

  分析与解 由①得x-y=1x-y=-1,即

x=y+1x=y-1

  与②结合有下面两个方程组

          

  ():把x=y+1代入|x+2y=3

y+1+2y=3

()的解为

 

  同理,解()

  故原方程组的解为

  7 解方程组

 

   由①得

x+y=x-y+2

因为|x-y|≥0,所以x+y0,所以|x+y=x+y

  把③代入②有

x+y=x+2

所以y=2.将之代入①有|x-2=x,所以

x-2=x, ④

   x-2=-x

   ④无解,所以只有解⑤得x=1.故

为原方程组的解.

  说明 本题若按通常的解法,区分x+y0x+y0两种情形,把方程②分成两个不同的方程x+y=x+2-(x+y)=x+2,对方程①也做类似处理的话,将很麻烦.上面的解法充分利用了绝对值的定义和性质,从方程①中发现必有x+y0,因而可以立刻消去方程②中的绝对值符号,从而简化了解题过程.

  8 解不等式|x-5-2x+3|<1

  

   x5x5

  

-(x-5)-[-(2x+3)]1

-(x-5)-(2x+3)1

  (3)x5时,原不等式化为

x-5-(2x+3)1

  解之得x-9,结合x5,故x5是原不等式的解.

  的解.

  9 解不等式1≤|3x-5|≤2

  分析与解 此不等式实际上是

 

   对|3x-5|≥1

    

 

    

  对|3x-5|≤2

   

 

    

  所以①与②的公共解应为

           

   10 解不等式||x+3-x-3||>3

   从里往外去绝对值符号,将数轴分为x-3-3x3x3三段来讨论,于是原不等式化为如下三个不等式组.

   

   

  

  即                x-3

   

   

                x3

  

  说明 本题也可以由外向内去绝对值符号,由绝对值的意义,解下面两个不等式

  分别解出①和②即可,请同学们自己完成这个解法.

  11 a取哪些值时,方程|x+2+x-1=a有解?

  解法1 (1)x-2时,

x+2+x-1=-2x-1-2(-2)-1=3

  (2)-2x1时,

x+2+x-1=x+2-x+1=3

  (3)x1时,

x+2+x-1=2x+12·1+1=3

  所以,只有当a3时,原方程有解.

  解法2 按照绝对值的性质|a-b|≤|a+b|,故

x+2+x-1|≥|(x+2)-(x-1)=3

  其中等号当-2x1时成立,所以当a3时,原方程有解.

练习七

  1.解下列方程:

  (1)x+3-x-1=x+1

  (2)||1+x-1=3x

  (3)3x-2-x+1=x+2

  (4)3y-2=-5x-3|.

  2.解方程组:

   

  3.解下列不等式:

 

  (2)5≤|5x-3|≤10

  (3)x+1+4-x|<6

  (4)||x-1-x+2||>1

  4.若a0b0,则方程|x-a+x-b=a-b的解是什么?

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相关评论
查看所有评论(共23条)
 happy雪儿 [59.52.*.*] 认为: 2007-10-18 19:22:34
艾克,我和快乐星球艾雪好有缘哦````
我的网名叫happy雪儿耶#

艾克,I love youuuuuuuuuuuuuuuuuu````````嘻嘻,爱老虎油
 hgfxd [219.145.*.*] 认为: 2007-10-02 23:44:08
若X分之X的绝对值=-1,求X取值范围
 lezi1997 [124.230.*.*] 认为: 2007-09-03 13:59:09
谢了
 753951456 [124.90.*.*] 认为: 2007-08-06 16:27:21
吾似一病人,数学好比苦药,不喝掉它,不尝这苦味,病怎能好?
 l810271530 [222.214.*.*] 认为: 2007-07-31 19:07:41
好啊,有了这,我还怕什么考试啊!
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