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不等式的应用
发布日期:2006-2-27 11:33:24 作者:佚名 出处:中考网

 不等式与各个数学分支都有密切的联系,利用“大于”、“小于”关系,以及不等式一系列的基本性质能够解决许多有趣的问题,本讲主要结合例题介绍一下这方面的应用.

  1 已知x0-1y0,将xxyxy2按由小到大的顺序排列.

  分析 用作差法比较大小,即若a-b0,则ab;若a-b0,则ab

   因为x-xy=x(1-y),并且x0-1y0,所以x(1-y)0,则xxy

  因为xy2-xy=xy(y-1)0,所以xy2xy

  因为x-xy2=x(1+y)(1-y)0,所以xxy2

  综上有xxy2xy

  2

 

  试比较AB的大小.

  

显然,2xyy0,所以2x-y0,所以A-B0AB

  3 若正数abc满足不等式组

 

  试确定abc的大小关系.

  解①+c

 

  +a

 

  +b

  由④,⑤得

 

    

  所以 ca

  同理,由④,⑥得bC

  所以abc的大小关系为bca

  4 k取何值时,关于x的方程

3(x+1)=5-kx

  分别有(1)正数解;(2)负数解;(3)不大于1的解.

   将原方程变形为(3+k)x=2

  (1) 3+k0,即 k-3时,方程有正数解.

  (2)3+k0,即k-3时,方程有负数解.

  (3)当方程解不大于1时,有

  

  所以1+k3+k应同号,即

   

  得解为      k-1k-3

  注意 由于不等式是大于或等于零,所以分子1+k可以等于零,而分母是不能等于零的。

  5已知

 

  求|x-1-x+3|的最大值和最小值.

  

   x-1-x+3

          

  

达到最大值4.结合x-3时的情形,得到:在已

  说明 对含有绝对值符号的问题,无法统一处理.一般情况下,是将实数轴分成几个区间,分别进行讨论,即可脱去绝对值符号.

  6 已知xyz为非负实数,且满足

x+y+z=303x+y-z=50

  u=5x+4y+2z的最大值和最小值.

   将已知的两个等式联立成方程组

 

  所以①+②得

4x+2y=80y=40-2x

  y=40-2x代入①可解得

z=x-10

  因为yz均为非负实数,所以

 

  解得 10x20

  于是

u=5x+4y+2z=5x+4(40-2x)+2(x-10)

=-x+140

  x值增大时,u的值减小;当x值减小时,u的值增大.故当x=10时,u有最大值130;当x=20时,u有最小值120

  7 abcd均为整数,且关于x的四个方程

(a-2b)x=1(b-3c)x=1

(c-4d)x=1x+100=d

的根都是正数,试求a可能取得的最小值是多少?

   由已知(a-2b)x=1,且根x0,所以a-2b0,又因为ab均为整数,所以a-2b也为整数,所以

a-2b1,即a2b+1

  同理可得,b3c+1c4d+1d101.所以

a2b+12(3c+1)+1=6c+3

6(4d+1)+3=24d+9

24×101+9=2433

a可能取得的最小值为2433

  

  pq的值.

   由已知

  

  所以 21q30p22q

  因为pq都为自然数,所以当q分别等于123456时,无适当的p值使21q30p22q成立.当q7时,14730p154,取p=5可使该不等式成立.所以q最小为7,此时p=5.于是 pq=5×7=35

  9 已知:bc1ab+ca+1,求证: ba

  分析与证明 要学会充分利用不等式的基本性质,按照一定的逻辑顺序来展开推理论证.

  因为bc,所以2bb+c,所以由b+ca+12ba+1,所以由1a1+a2a,所以

2b1+a2a

  ba成立.

  

  分析与解 由题设可知x1y2z3,所以

   

  x3时,

 

  也不成立,故x只能为2

  x=2时,

 

  y=3,则z=6

   x=2y4时,

不成立.

  故本题只有一组解,即x=2y=3z=6

  11 某地区举办初中数学联赛,有ABCD四所中学参加,选手中, A B两校共16名;BC两校共 20名; C D两校共34名,并且各校选手人数的多少是按ABCD中学的顺序选派的,试求各中学的选手人数.

   ABCD四校的选手人数分别为xyzu.据题意有

 

  由①,②可知,x+yy+z,所以xz.又由于人数的多少是按ABCD四校的顺序选派的,所以有xyzu

  由①与xy16-y=xy,所以y8.由②与yz20-y=zy,所以y10.于是8y10,所以y=9(因为人数是整数).将y=9代入①,②可知x=7z=11,再由③有u=23

  A7人,B9人,C11人,D23人.

   

   

   

 

注意到x只能取1234,…,9这九个数字,所以x=2,所以

所以y=1z=4

所以x=2y=1z=4

练习八

  1.如果abc,并且xyz,那么在四个代数式

  (1) ax+by+cz(2)ax+bz+cy

  (3) ay+bx+cz(4) az+bx+cy

    中哪一个的值最大?

  2.不等式10(x+4)+x62的正整数解是方程

2(a+x)-3x=a+1

  3.已知y=x+2+x-1-3x-6|,求y的最大值.

  4.已知xyz都为自然数,且xy,当x+y=1998z-x=2000时,求x+y+z的最大值.

  5.若x+y+z0xy+yz+zx0xyz0,试证:x0y0z0

  能值之和是多少?

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相关评论
查看所有评论(共82条)
 觉得发挥和 [218.58.*.*] 认为: 2008-03-09 12:01:24
你太笨了
 超人强 [125.120.*.*] 认为: 2007-09-15 23:50:46
谁不会啊
 超人强 [125.120.*.*] 认为: 2007-09-15 23:49:48
有点复杂
 v22222 [124.239.*.*] 认为: 2007-09-11 19:58:36
这些题对后进生有提高作用
但对优等生有些幼稚
 yincongwei [122.89.*.*] 认为: 2007-09-08 13:21:29
太难了
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